Рассмотрим задачи, в которых речь идёт о движении объекта по реке. Скорость любого объекта в Стоячей воде называют Собственной скоростью этого объекта.
Чтобы узнать скорость объекта, который движется Против течения реки, надо из собственной скорости объекта вычесть скорость течения реки.
Задача 1. Катер движется против течения реки. За сколько часов он преодолеет расстояние 112 км, если его собственная скорость 30 км/ч, а скорость течения реки 2 км/ч?
Решение: Сначала узнаем скорость движения катера против течения реки, для этого от его собственной скорости отнимем скорость течения:
30 — 2 = 28 (км/ч) — скорость движения катера против течения.
Теперь можно узнать за сколько часов катер преодолеет 112 км, разделив расстояние на скорость:
Решение задачи по действиям можно записать так:
1) 30 — 2 = 28 (км/ч) — скорость движения катера против течения,
Ответ: За 4 часа катер преодолеет расстояние 112 км.
Чтобы узнать скорость объекта, который движется По течению реки, надо к собственной скорости объекта прибавить скорость течения реки.
6 задание 6 варианта ВПР 2020 по физике 7 класс А.Ю.Легчилин (25 вариантов)
Задача 2. Расстояние от пункта A до пункта B по реке равно 120 км. Сколько времени потратит моторная лодка на путь от пункта A до B, если её собственная скорость 27 км/ч, а скорость течения реки 3 км/ч?
Рассмотрите два варианта:
1) лодка движется по течению реки;
2) лодка движется против течения реки.
Решение: Если моторная лодка будет двигаться по течению реки, то её скорость будет равна сумме собственной скорости со скоростью течения реки:
Значит расстояние между пунктами лодка преодолеет за:
Если лодка будет двигаться против течения реки, то её скорость будет равна разности собственной скорости и скорости течения реки:
Значит, чтобы узнать сколько времени потратит лодка на путь от пункта A до пункта B, надо расстояние разделить на скорость:
Решение задачи по действиям для движения по течению реки можно записать так:
1) 27 + 3 = 30 (км/ч) — скорость лодки,
Для движения против течения реки решение задачи по действиям можно записать так:
1) 27 — 3 = 24 (км/ч) — скорость лодки,
1) При движении по течению реки моторная лодка потратит 4 часа на путь от пункта A до пункта B.
2) При движении против течения реки моторная лодка потратит 5 часов на путь от пункта A до пункта B.
Для движения против течения реки решение задачи по действиям можно записать так.
Задачи на движение по реке | Мел » /> » /> .keyword < color: red; >Задачи по математике 4 класс на движение по течению и против течения
Задачи на движение по реке
Задачи на движение по реке
Задачи на движение по реке трудны для пятиклассников, а взрослые недоумевают: чего же там трудного? Бревно или плот плывут со скоростью течения реки VТ., которая считается постоянной.
Скорость катера в стоячей воде VС. называют собственной скоростью катера. Скорость катера по течению реки VПо теч. больше собственной скорости катера на скорость течения реки: VПо теч. = VС. + VТ.
Онлайн-урок 4 класс. Задачи на движение по реке
Скорость катера против течения реки VПр теч. меньше собственной скорости катера на скорость течения реки: VПо теч. = VС. + VТ.
Эти соотношения полезно проиллюстрировать рисунком.
Скорость катера по течению больше его скорости против течения на две скорости течения.
Задача 1. Скорость катера в стоячей воде равна 15 км/ч, а скорость течения реки — 3 км/ч. Какова скорость катера по течению и против течения реки?
1) 15 + 3 = 18 (км/ч) — скорость катера по течению реки,
2) 15 — 3 = 12 (км/ч) — скорость катера против течения реки.
Ответ. 18 км/ч и 12 км/ч.
Обратим внимание: скорость катера по течению реки — это сумма его собственной скорости и скорости течения реки, а скорость катера против течения реки— это разность его собственной скорости и скорости течения реки, поэтому скорость по течению реки больше скорости против течения на удвоенную скорость течения.
Задача 2. Скорость моторной лодки по течению реки равна 48 км/ч, а против течения — 42 км/ч. Какова скорость течения реки и собственная скорость моторной лодки?
1) 48 — 42 = 6 (км/ч) — удвоенная скорость течения реки,
2) 6: 2 = 3 (км/ч) — скорость течения реки,
3) 48 — 3 = 45 (км/ч) — собственная скорость.
Ответ. 3 км/ч и 45 км/ч.
Задачи для закрепления берём в учебнике «Математика» для 5 класса (Просвещение, С. М. Никольский и др.) или в книге для учителя «Обучение решению текстовых задач в 5-6 классах» (раздел Книги на сайте www. shevkin. ru). Приведём три задачи из учебника.
В качестве примера применения формируемого умения приведём задачу из сборника для подготовки к ГИА-9.
Задача 3. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 160 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения реки, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 18 км/ч, стоянка длится 2 часа, а в пункт отправления теплоход возвращается ровно через 20 часов после отплытия из него.
Составлять и решать уравнение с неизвестным в знаменателе научат в 8 классе, если новый стандарт не отменит изучение таких уравнений, а находить скорость теплохода по течению и против течения реки надо научиться в 5 классе.
Меньше собственной скорости катера на скорость течения реки V по теч.
Урок математики в 4 классе на тему Задачи на движение по реке » /> » /> .keyword < color: red; >Задачи по математике 4 класс на движение по течению и против течения
Урок математики в 4 классе на тему Задачи на движение по реке
Урок математики в 4 классе на тему «Задачи на движение по реке»
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей
Более 300 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения
-
Онлайн
Формат Диплом
Гособразца Помощь в трудоустройстве
Открытый урок по математике
В 4 классе по теме
«Задачи на движение по реке».
Учитель: Мингазова Фания Ризвановна
Тема: Задачи на движение по реке.
1) Ввести правило нахождения скорости движения по течению / против течения реки; раскрывать значение понятий «собственная скорость», «движение по течению реки», «движение против течения реки» и использовать их в активном словаре.
2) Повторить и обобщить знания, умения и навыки решения задач на движение.
3) Развивать кругозор, мышление, внимание, культуру математической речи; прививать интерес к математике.
Методы обучения: частично-поисковый (эвристический), системные обобщения, самопроверка, взаимопроверка.
Формы организации урока: фронтальная, групповая, индивидуальная.
Оборудование: презентация к уроку, приложение на электронном носителе (CD) к учебнику для 4 класса по программе “Перспектива» (авторы ; Г. В.Дорофеев, Т. Н.Миракова, Т. Б.Бука), карточки с заданиями, листы самооценивания.
I. Организационный момент.
Цель: Создание благоприятного психологического настроя на работу.
— Ребята, сегодня у нас много гостей, посмотрите на наших гостей, улыбнитесь им, улыбнитесь друг другу и начнём наш урок.
— Давайте все вместе прочитаем строки, написанные на экране. 3слайд
Математику, друзья,
Не любить никак нельзя.
Очень точная наука,
Очень строгая наука,
Интересная наука —
Это математика!
— Ребята, вы согласны с этими словами? Вы любите математику?
— У каждого из вас на столах лежат листы самооценки. Подпишите их. В течение урока мы с вами будем выполнять различные задания. После решения каждого задания, вы должны оценить свою работу. Как оценивать себя вы знаете.
2. Актуализация знаний и фиксация затруднений.
Устный счёт . Математическая разминка. 5слайд.
— А теперь у нас математическая разминка — устно выполняем примеры и ответы записываем в порядке уменьшения.
Ж в и н и е е д
— выполнение заданий в группах ( решение примеров, заполнение таблицы, отгадывание слова )
— Какое слово получилось?
— Движение. 7 слайд
— А что такое движение? 9 слайд
— Движение – это перемещение в нужном направлении.
— А из каких величин состоит процесс движения?
— Процесс движения – скорость, время, расстояние. 11слайд
— Какими буквами из латинского алфавита мы обозначаем их?
— Назовите единицы измерения. 13 слайд
— Вспомним правила нахождения скорости, времени, расстояния.
— Соедини части одного и того же правила 15 слайд
— Запишите формулы на листочках, рядом записываем единицы измерения
— Обменяйтесь между собой листочками, возьмите карандаши и проверяем.
Больше 2 ошибок — 2
— Проверьте себя по экрану. Слайд 16
Запишите баллы на листах самооценки.
— Какие виды движений мы знаем?
— Встречное, в противоположных направлениях, в одном направлении. 18 слайд
— А движение по какой поверхности?
— По земле, по воздуху, по воде. 19 слайд
— А теперь я вам предлагаю отгадать загадки. 22 слайд
— А как они называются?
— А теперь посмотрите следующий слайд и подумайте. Чем отличаются река и озеро? 25 слайд
— Озеро –это природный водоём со стоячей водой. Река — это постоянный водоток.
— А какие реки и озёра вы знаете?
— — А какие реки протекают в нашем городе?
— Кама, Мелекеска, Челнинка
— А что вы знаете о реке Кама?
— А что вы знаете о значении водоёмов?
— Люди берут из водоёмов воду для питья и приготовления пищи, для хозяйственных нужд. По воде перевозят грузы. Водоёмы – дом для растений и рыб. Без воды не может существовать ни человек, ни растения, ни животные.
— А всегда ли мы правильно ведем себя, находясь у водоёма? Как вы можете помочь в охране наших водоёмов.
-Надо следить за чистотой воды, нельзя в воду бросать мусор и оставлять на берегу. Соблюдать правила безопасности во время купания.
— Защита группами экологических плакатов на тему «Вода –жизнь», «Берегите наши реки», выполненных на уроках изобразительного искусства.
— Итак, тема сегодняшнего урока – задачи на движение по реке.27 слайд
— Ребята, какое сейчас время года?
— Сейчас у нас на улице весна. Появились лужицы и побежали ручьи. Если мы сделаем два бумажных кораблика и пустим один из них в лужу, а второй — в ручей. Что же произойдет с каждым из корабликов?
— В луже кораблик будет стоять на месте, а в ручейке — поплывет, так как вода в нем «бежит» к более низкому месту и несет его с собой. То же самое будет происходить с плотом или лодкой.
В озере они будут стоять на месте, а в реке – плыть.
Рассмотрим первый вариант: лужа и озеро. Вода в них не движется и называется Стоячей .
Кораблик поплывет по луже только в том случае, если мы его подтолкнем или если подует ветер. А лодка начнет двигаться в озере при помощи весел или если она оснащена мотором, то есть за счет своей скорости.
Такое движение называют Движением в стоячей воде .
Следует запомнить, что скорость катера в стоячей воде называют Собственной скоростью .
— Как вы думаете, отличается ли движение по озеру от движения по реке? Чем же?
— Вспомним бумажный кораблик в ручье. Он плыл, потому что вода в нем движется.
Такое движение называют Движением по течению . А в обратную сторону – Движением против течения .
Каждый из вас плавал в реке и помнит, что по течению плыть гораздо легче, чем против течения. Почему? Потому, что в одну сторону река «помогает» плыть, а в другую — «мешает».
— Ребята, помните, когда мы с вами решали задачи на движение в одном направлении, в рабочих тетрадях выполняли вычисления и прочитали китайскую пословицу? Кто помнит эту пословицу, о чём она?
— Учиться – это всё равно, что плыть против течения: остановился – тебя отнесло назад.
— Ребята, как вы понимаете эту пословицу?
Итак, вода в реке движется, а значит имеет свою скорость. И называют ее Скоростью течения реки . ( Как ее измерить?)
Остановимся на движении по течению реки. Мы уже говорили о бумажном кораблике в весеннем ручье. Вода понесет его вместе с собой. И лодка, спущенная на воду, поплывет со скоростью течения. Но если у нее есть собственная скорость, то она поплывет еще быстрее.
4. Работа по электронному приложению ( теоретический материал) (2 мин)
5.Первичное закрепление нового материала. Решение задач по электронному приложению.
Каждую задачу соедини линией с подходящим ответом
Скорость моторной лодки 35 км/ч, а скорость течения реки 2 км/ч. С какой скоростью лодка будет двигаться по течению реки?
Скорость моторной лодки 32 км/ч, а скорость течения реки 3 км/ч. С какой скоростью лодка будет двигаться по течению реки?
Скорость моторной лодки 24 км/ч, а скорость течения реки 2 км/ч. С какой скоростью лодка будет двигаться по течению реки?
7 .Рефлексия учебной деятельности на уроке.
1) работа по учебнику
— выполнение заданий №1,2.4 –устно
2) Выполнение проверочной работы по электронному приложению. Оцените свою работу.
Для каждой задачи подбери подходящий ответ:
1)Собственная скорость теплохода 46 км/ч, а скорость течения реки 2 км/ч. С какой скоростью теплоход будет двигаться против течения реки?
2) Собственная скорость теплохода 43 км/ч, а скорость течения реки 3 км/ч. С какой скоростью теплоход будет двигаться против течения реки?
3) Собственная скорость теплохода 43 км/ч, а скорость течения реки 2 км/ч. С какой скоростью теплоход будет двигаться против течения реки?
4) Собственная скорость теплохода 48 км/ч, а скорость течения реки 3 км/ч. С какой скоростью теплоход будет двигаться против течения реки?
— Как найти собственную скорость, если известна скорость по течению и скорость течения реки?
— Как узнать скорость течения, если известна скорость по течению и собственная скорость?
— Как найти собственную скорость, если известна скорость против течения и скорость течения?
3) Самостоятельная работа. На слайде и на карточках.31 слайд
— Процесс движения скорость, время, расстояние.
Источник: apple-tour.ru
Прошу помогите решить. Если точно не знаете не пишите. Когда лодка двигается по
реке в одном направлении она проходит за 2 часа 4 км. А когда лодка движется в противоположном направлении то за тоже самое время проходит 10 км. Найти скорость течения! Варианты ответа 4.5 3 2.5 1.5 или же ВСЕ НЕПРАВИЛЬНЫ.
ПРОШУ С ОБЪЯСНЕНИЕМ.
В 1 направление его скорость 2 км в час.Потому что бы узнать скорость надо расстояние делить на время.Поэтому 4:2.В противоположное направление 5 км в час. Потому что 10_2=5.
за 2 часа 4 км по течению
за2 часа-10км против течения
10-4=6 (км/ч) скорость течения.
пусть х скорость лодки
тогда у скорость течения
записываем уравнения
2 ( х — у) = 4
2 (х + у) = 10
раскрываем скопки
2х — 2у = 4
2х + 2у = 10
решаем систему методом алгебраического сложения
4х = 14
х = 3,5 м/с
тогда у = 1,5 м/с
Источник: uchimsya.com
Как решать задачи с течением уравнением
Рассмотрим задачи, в которых речь идёт о движении объекта по реке. Скорость любого объекта в стоячей воде называют собственной скоростью этого объекта.
Чтобы узнать скорость объекта, который движется против течения реки, надо из собственной скорости объекта вычесть скорость течения реки.
Задача 1. Катер движется против течения реки. За сколько часов он преодолеет расстояние 112 км, если его собственная скорость 30 км/ч, а скорость течения реки 2 км/ч?
Решение: Сначала узнаем скорость движения катера против течения реки, для этого от его собственной скорости отнимем скорость течения:
30 — 2 = 28 (км/ч) — скорость движения катера против течения.
Теперь можно узнать за сколько часов катер преодолеет 112 км, разделив расстояние на скорость:
Решение задачи по действиям можно записать так:
1) 30 — 2 = 28 (км/ч) — скорость движения катера против течения,
Ответ: За 4 часа катер преодолеет расстояние 112 км.
Чтобы узнать скорость объекта, который движется по течению реки, надо к собственной скорости объекта прибавить скорость течения реки.
Задача 2. Расстояние от пункта A до пункта B по реке равно 120 км. Сколько времени потратит моторная лодка на путь от пункта A до B, если её собственная скорость 27 км/ч, а скорость течения реки 3 км/ч?
Рассмотрите два варианта:
1) лодка движется по течению реки;
2) лодка движется против течения реки.
Решение: Если моторная лодка будет двигаться по течению реки, то её скорость будет равна сумме собственной скорости со скоростью течения реки:
Значит расстояние между пунктами лодка преодолеет за:
Если лодка будет двигаться против течения реки, то её скорость будет равна разности собственной скорости и скорости течения реки:
Значит, чтобы узнать сколько времени потратит лодка на путь от пункта A до пункта B, надо расстояние разделить на скорость:
Решение задачи по действиям для движения по течению реки можно записать так:
1) 27 + 3 = 30 (км/ч) — скорость лодки,
Для движения против течения реки решение задачи по действиям можно записать так:
1) 27 — 3 = 24 (км/ч) — скорость лодки,
1) При движении по течению реки моторная лодка потратит 4 часа на путь от пункта A до пункта B.
2) При движении против течения реки моторная лодка потратит 5 часов на путь от пункта A до пункта B.
Как решать задачи на движение на ЕГЭ по математике 2019
Классическим примером текстовой задачи, которая может встретиться вам на ЕГЭ, является задача на движение. Эти задачи довольно разнообразны и включают в себя: задачи на движение навстречу, задачи на движение вдогонку, задачи на движение по реке. И поэтому вопрос, как же решать задачи на движение, иногда ставят учеников в тупик.
Научиться решать такие задачи довольно легко, для этого нужно знать алгоритм, состоящий всего из 3 шагов.
Формула, которую обязательно нужно знать, и секрет, как ее легко запомнить
Для решения любой задачи на движение вам обязательно нужно знать всего одну формулу, которая вам уже давно известна:И уметь правильно выражать из этой формулы скорость и время:Многие ученики путаются при записи этих формул, допуская ошибки. Чтобы раз и навсегда запомнить формулы нахождения расстояния, скорости и времени, просто нарисуй треугольник.
В верхнем углу треугольника напиши S, а внизу — V и t. Проведи горизонтальную черту между ними. Теперь мы можем закрыть рукой ту величину, которую нам нужно найти, и увидим формулу нахождения этой величины. Например, нам нужно найти расстояние. Закрываем рукой S, и на нашем рисунке останется V t – это и есть формула нахождения расстояния. Или нам нужно найти время.
Закрываем рукой t, и на нашем рисунке остается – формула нахождения времени. Нужно найти скорость? Закрываем рукой V, получаем – формулу нахождения скорости. Главное запомнить, что S должна быть в верхнем углу. Это можно сделать, например, с помощью ассоциации, что S похожа на змею, а змея – хозяйка горы, поэтому она на вершине. Вот как выглядит такой магический треугольник:
3 простых шага решения задачи на движение
Чтобы правильно решить задачу на движение нужно:
- Определить неизвестное и составить таблицу на основании условия задачи.
- Составить уравнение на основании таблицы.
- Вернуться к условиям задачи и записать правильный ответ.
Давайте подробнее разберем каждый шаг:
- Вначале нам нужно внимательно прочитать условие задачи и определить, что же взять за переменную Х. Чаще всего в задачах на движение удобнее всего за переменную Х обозначить скорость. Если же скорость нам прямо дана в условиях задачи, то за переменную Х обозначаем время. Если в условиях задачи прямо указаны значения и скорости, и времени, тогда за переменную Х берем расстояние. Затем из условий задачи определить все, что нам известно и занести в таблицу.
- На основании полученной таблицы составляем уравнение и решаем его. После решения уравнения не торопимся записывать ответ. Ведь нахождение Х – это не всегда ответ к исходной задаче. Такую ошибку совершают многие ученики: фактически правильно решив задачу, они записывают неправильный ответ.
- После решения уравнения возвращаемся к условиям задачи и смотрим, что же требовалось найти. Находим неизвестное и записываем ответ.
Задачи на движение бывают разными. В таких задачах участники движения могут двигаться навстречу друг другу, вдогонку, они могут двигаться по реке (против течения или по течению). Каждая из этих задач имеет особенности решения, о которых мы поговорим ниже и разберем на примерах.
Задачи на движение вдогонку: примеры с решением
При решении задачи, по условия которой оба участника движения двигаются в одном направлении, как правило, сравнивается время их движения. Необходимо запомнить правила:
- Если время движения сравнивается (то есть присутствуют слова больше/меньше), то мы приравниваем время и прибавляем слагаемое. То есть чтобы получить большее время, мы прибавляем к меньшему времени что-то еще (из условий задачи).
- Если условия задачи содержат общее время, то дроби, выражающее время, складываются.
Давайте разберем, как работают эти правила при решении задач.
Задача 1
Велосипедист и автомобилист одновременно выехали из пункта А в пункт Б, расстояние между которыми равно 50 км. Известно, что скорость автомобилиста на 40 км/ч больше, чем у велосипедиста, в результате чего автомобилист приехал в пункт Б на 4 часа раньше. Найдите скорость велосипедиста.
1. Необходимо определить, что взять за переменную Х и составить таблицу. Вспоминаем, что удобнее всего за Х обозначить скорость в том случае, если она прямо не указано в условиях задачи.
В нашем случае скорость в условиях задачи не указана, поэтому скорость велосипедиста обозначаем за Х.
Составляем таблицу, данные для которой берем из условий задачи.
Итак, расстояние (S) нам известно – 50 км, скорость велосипедиста – х, скорость автомобилиста на 40 км/ч больше, значит она равна х + 40. Чтобы определить время вспоминаем формулу t = S / V и подставляем в нее наши значения. Время, затраченное велосипедистом, получится 50 / х, а время, затраченное автомобилистом — 50 / (х + 40).2. На основании таблицы и условий задачи необходимо составить уравнение.
Из условий задачи нам известно, что автомобилист приехал раньше велосипедиста на 4 часа (смотрим наше первое правило). Это значит, что велосипедист затратил на 4 часа больше времени, чем автомобилист. Следовательно,
50 / (х + 40) + 4 = 50 / х
Решаем полученное уравнение, для этого приводим наши дроби к одному знаменателю:
50х + 4х (х + 40) – 50 (х+40) / х (х + 40) = 0
(50х + 4х 2 + 160х – 50х – 2000) / х (х+40) = 0
(4х 2 + 160х – 2000) / (х 2 + 40х) = 0
Умножим обе части уравнение на х 2 + 40х:
4х 2 + 160х – 2000 = 0
Разделим обе части уравнения на 4:
х 2 + 40х – 500 = 0
D = 40 2 – 4 * 1 * (-500) = 3600
Далее находим корни уравнения:
х2 = — 50
3. Возвращаемся к условиям задачи и вспоминаем, что же требовалось найти.
Нам нужно было определить скорость велосипедиста, которую мы обозначили за Х.
Скорость велосипедиста должна быть положительна, поэтому х2 не подходит по смыслу задачи. Следовательно, нас интересует только х1 и скорость велосипедиста равна 10 км/ч.
Задача 2
Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город Б, расстояние между которыми равно 80 км. На следующий день он поехал обратно, при этом его скорость была на 2 км/ч больше прежней. По пути велосипедист останавливался и отдыхал 2 часа. В итоге на возвращение из города Б в город А у него ушло времени столько же, сколько на путь из города А в город Б. Найдите скорость велосипедиста на пути из города А в город Б.
1. Обозначим скорость велосипедиста на пути из города А в город Б как переменную Х.
Из условий задачи: расстояние — 80 км, скорость велосипедиста во второй день – х. Его скорость во второй день была на 2 км/ч больше, чем в первый день, т.е. в первый день она была ниже, следовательно, скорость велосипедиста в первый день равна х – 2. Определим затраченное велосипедистом время на путь по формуле t = S / V. Тогда время, затраченное в первый день на путь равно 80 / х, во второй день — 80 / (х + 2).2. На основании таблицы и условий задачи составим уравнение.
Из условий задачи нам известно, что во второй день велосипедист останавливался и отдыхал 2 часа, следовательно, в пути он провел на 2 часа меньше (смотрим наше первое правило). Также нам известно, что общее затраченное велосипедистом время в первый и во второй дни равно. Следовательно:
80 / (х + 2) + 2 = (80 / х)
Решаем полученное уравнение, для чего приводим дроби к общему знаменателю:
(80х + 160 – 80х – 2х (х+2)) / х (х + 2) = 0
Умножаем обе части уравнения на х (х + 2):
160 – 2х 2 + 4х = 0
— 2х 2 — 4х + 160 = 0
Делим обе части уравнения на -2:
D = 2 2 – 4 * 1 * (-80) = 4 + 320 = 324
Тогда корни уравнения равны:
3. Возвращаемся к условиям задачи. Нам необходимо было найти скорость велосипедиста на пути из города А в город Б, которую мы обозначали за Х.
Скорость должна быть положительна, поэтому х2 = — 10 не подходит по смыслу задачи. Следовательно, скорость велосипедиста равна 8.
Задачи на движение навстречу: примеры с решением
Главное, что нужно помнить о движении навстречу: скорости участников движения складываются.
В тех случаях, когда нам неизвестно общее расстояние, то есть мы не можем его определить из условий задачи и из составленных уравнений, данное расстояние следует принимать за единицу.
Примеры решения задач на движение навстречу:
Задача 1
Из города А в город Б выехал автомобилист, через 3 часа навстречу ему выехал мотоциклист со скоростью 60 км/ч. Автомобилист и мотоциклист встретились на расстоянии 350 км от города А. Расстояние между городами А и Б равно 470 км. Найдите скорость автомобилиста.
1. Обозначим скорость автомобилиста как Х.
Автомобилист и мотоциклист встретились на расстоянии 350 км от города А. Следовательно, автомобилист проехал 350 км, а мотоциклист 470 – 350 = 120 км.
Составим таблицу:2. Составим уравнении на основании таблицы и условий задачи.
Из условий задачи известно, что автомобилист ехал на 3 часа дольше, чем мотоциклист (пользуемся первым правилом, которое разбирали при решении задач на движение вдогонку). Следовательно:
Решаем полученное уравнение:
3. Возвращаемся к условиям задачи. Нам необходимо было найти скорость автомобилиста, которую мы обозначали за Х. Следовательно, скорость автомобилиста равна 70 км/ч.
Задача 2
Из городов А и Б одновременно навстречу друг другу выехали автомобилист и велосипедист. Автомобилист приехал в город А на 6 часов раньше, чем велосипедист приехал в город Б. Встретились они через 4 часа после начала движения. Сколько времени затратил автомобилист на путь из города Б в город А?
1. Время автомобилиста обозначим как Х.
Примем расстояние между городами А и Б за единицу. Остальные данные берем из условий задачи.
Составим таблицу:2. Составим уравнение на основании таблицы и условий задачи.
Известно, что велосипедист и автомобилист встретились через 4 часа после начала движения и в сумме преодолели все расстояние от города А до города Б. То есть все расстояние от города А до города Б было преодолено за 4 часа.
Вспоминаем, что при движении навстречу скорости движения участников складываются. Подставим в формулу пути известные нам данные:
((1 / х) + (1 / (х — 6))) * 4 = 1
Решаем полученное уравнение:
(4 / х) + (4 / (х — 6)) = 1
Приводим дроби к одному знаменателю:
(4х — 24 + 4х — х 2 + 6х) / (х (х — 6)) = 0
Делим обе части уравнения на х (х — 6), при условии, что х > 6:
-х 2 + 14х — 24 = 0
Умножим обе части уравнение на -1:
х 2 — 14х + 24 = 0
Находим дискриминант нашего квадратного уравнения:
D = 14 2 – 4 * 1 * 24 = 100
Находим корни уравнения:
х2 2 + 40х – 40х – 200 = 0
3. Возвращаемся к условию задачи. Нам необходимо было найти собственную скорость катера, которую мы обозначили за Х. Так как скорость не может быть отрицательной, то х1 = -15 противоречит условию задачи. Следовательно, собственная скорость катера равна 15 км/ч.
Задача 2
Моторная лодка вышла в 9:00 из пункта А в пункт Б, расстояние между которыми 30 км. Пробыв в пункте Б 3 часа, моторная лодка повернула назад и вернулась в пункт А в 20:00. Найдите скорость течения реки, если известно, что собственная скорость моторной лодки 8 км/ч.
1. Обозначим скорость течения реки за х. Остальные данные берем из условия задачи.
Составим таблицу:2. Составим уравнение.
Нам известно, что моторная лодка начала свое движение в 9:00, а закончила в 20:00, а также в течение этого времени пробыла без движения во время стоянки – 3 часа. Таким образом, общее время движения будет 20 – 9 – 3 = 8 часов. Когда речь идет об общем времени движения, то нам нужно сложить время движения по течению и время движения против течения (пользуемся вторым правилом, которое разбирали при решении задач на движение вдогонку). Получаем:
30 / (8+х) + 30 / (8-х) = 8
Решаем полученное уравнение. Для этого приводим дроби к общему знаменателю:
(30 (8+х) + 30 (8-х) – 8 (8-х) (8+х)) / (8-х) (8+х) = 0
Умножаем обе части уравнения на (8-х) (8+х):
240 + 30х + 240 – 30х – (64 – 8х) (8+х) = 0
480 – 512 – 64х + 64х – 8х 2 = 0
3. Возвращаемся к условию задачи. Нам необходимо было найти скорость течения, которую мы обозначили за х. Так как скорость не может быть отрицательной, то х1 = -2 противоречит условию задачи. Следовательно, скорость течения равна 2 км/ч.
Итак, мы разобрались, как решать задачи на движения. В ЕГЭ 2019 помимо задач на движение могут содержаться и другие текстовые задачи: на смеси и сплавы, на работу, на проценты. О том, как их решать, вы можете узнать на нашем сайте.
Задачи на движение по воде
Разделы: Математика