Тригонометрия — раздел математической науки, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии. Развитие тригонометрии началось еще во времена античной Греции. Во времена средневековья важный вклад в развитие этой нужной науки внесли ученые Ближнего Востока и Индии, которые придумали наиболее важные понятия, объяснили многие свойства, предложили варианты измерения и др.
Данная статья посвящена базовым понятиям и дефинициям тригонометрии. В ней рассмотрены определения основных тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Разъяснен и проиллюстрирован их смысл в контексте геометрии без таблиц и графиков.
Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения
Зачем разделять понятия синуса, косинуса, тангенса и котангенса?
Изначально определения тригонометрических функций, аргументом которых является угол, выражались через соотношения сторон прямоугольного треугольника.
Пуля 9х18 ПМ
Как найти синус? Для начала нужно определиться, какой перед нами треугольник: прямоугольный или произвольный. В первом случае можно использовать обычный тригонометрический метод, а во втором — теорему косинусов.
Как найти косинус? Соответственно, нам нужно знать значения прилежающего катета и гипотенузы.
Как найти тангенс? Если треугольник прямоугольный, то тангенс вычисляется при помощи значений противоположного катета и прилежащего (в уравнении нужно поделить одно на другое). Если речь идет о числах, тупых, развернутых углов и углов, превышающих 360 градусов, то тангенс определяется при помощи синуса и косинуса (посредством их отношения и деления).
Теорема синусов и косинусов используется для того чтобы искать элементы в произвольном треугольнике. Такой поиск используется часто.
Угол поворота
Определения, данные выше, относятся к острым углам. В тригонометрии вводится понятие угла поворота, величина которого, в отличие от острого угла, не ограничена рамками от 0 до 90 градусов.Угол поворота в градусах или радианах выражается любым действительным числом от — ∞ до + ∞ .
В данном контексте можно дать определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла произвольной величины. Представим единичную окружность (круг) с центром в начале декартовой системы координат.
Начальная точка A с координатами ( 1 , 0 ) поворачивается вокруг центра единичной окружности на некоторый угол α и переходит в точку A 1 . Определение дается через координаты точки A 1 ( x , y ).
Синус (sin или син) угла поворота
Синус угла поворота α — это ордината точки A 1 ( x , y ). sin α = y
Косинус (cos) угла поворота
Косинус угла поворота α — это абсцисса точки A 1 ( x , y ). cos α =икс
Пистолетный патрон 9х18 ПМ
Тангенс (tg) угла поворота
Тангенс угла поворота α — это отношение ординаты точки A 1 ( x , y ) к ее абсциссе. t g α = y x
Котангенс (ctg) угла поворота
Котанг угла поворота α — это отношение абсциссы точки A 1 ( x , y ) к ее ординате. c t g α = x y
Синус и косинус определены для любого угла поворота. Это логично, ведь абсциссу и ординату точки после поворота можно определить при любом угле. Иначе обстоит дело с тангенсом и котангенсом.
Тангенс не определен, когда точка после поворота переходит в точку с нулевой абсциссой ( 0 , 1 ) и ( 0 , — 1 ). В таких случаях выражение для тангенса t g α = y x просто не имеет смысла, так как в нем присутствует деление на ноль. Аналогична ситуация с котангенсом. Отличие состоит в том, что котангенс не определен в тех случаях, когда в ноль обращается ордината точки.
Простое правило: синус и косинус определены для любых углов α .
Тангенс определен для всех углов, кроме α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π 2 + π · k , k ∈ Z )
Котангенс определен для всех углов, кроме α = 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π · k , k ∈ Z )
При решении практических примеров не говорят «синус угла поворота α «. Слова «угол поворота» просто опускают, подразумевая, что из контекста и так понятно, о чем идет речь.
Числа
Как быть с определением синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа, а не угла поворота?
Синус, косинус, тангенс, котангенс числа
Синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом числа t называется число, которое соответственно равно синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу в t радиан.
Например, синус числа 10 π равен синусу угла поворота величиной 10 π рад.
Существует и другой подход к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа. Рассмотрим его подробнее.
Любому действительному числу t ставится в соответствие точка на единичной окружности с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Синус, косинус, тангенс и котангенс определяются через координаты этой точки.
Начальная точка на окружности — точка A c координатами ( 1 , 0 ).
Положительному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t .
Отрицательному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t .
Теперь, когда связь числа и точки на окружности установлена, переходим к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
Синус (sin) числа t
Синус числа t — ордината точки единичной окружности, соответствующей числу t. sin t = y
Косинус (cos) числа t
Косинус числа t — абсцисса точки единичной окружности, соответствующей числу t. cos t = x
Тангенс (tg) числа t
Тангенс числа t — отношение ординаты к абсциссе точки единичной окружности, соответствующей числу t. t g t = y x = sin t cos t
Последние определения находятся в соответствии и не противоречат определению, данному в начале это пункта. Точка на окружности, соответствующая числу t, совпадает с точкой, в которую переходит начальная точка после поворота на угол t радиан.
Тригонометрические функции углового и числового аргумента
Каждому значению угла α соответствует определенное значение синуса и косинуса этого угла. Также, как всем углам α , отличным от α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π 2 + π · k , k ∈ Z ) соответствует определенное значение тангенса. Котангенс, как сказано выше, определен для всех α , кроме α = 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π · k , k ∈ Z ).
Можно сказать, что sin α , cos α , t g α , c t g α — это функции угла альфа, или функции углового аргумента.
Аналогично можно говорить о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе, как о функциях числового аргумента. Каждому действительному числу t соответствует определенное значение синуса или косинуса числа t. Всем числам, отличным от π 2 + π · k , k ∈ Z соответствует значение тангенса. Котангенс, аналогично, определен для всех чисел, кроме π · k , k ∈ Z.
Основные функции тригонометрии
Синус, косинус, тангенс и котангенс — основные тригонометрические функции.
Из контекста обычно понятно, с каким аргументом тригонометрической функции (угловой аргумент или числовой аргумент) мы имеем дело.
Связь определений sin, cos, tg и ctg из геометрии и тригонометрии
Вернемся к данным в самом начале определениям и углу альфа, лежащему в пределах от 0 до 90 градусов. Тригонометрические определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса полностью согласуются с геометрическими определениями, данными с помощью соотношений сторон прямоугольного треугольника. Покажем это.
Возьмем единичную окружность с центром в прямоугольной декартовой системе координат. Повернем начальную точку A ( 1 , 0 ) на угол величиной до 90 градусов и проведем из полученной точки A 1 ( x , y ) перпендикуляр к оси абсцисс. В полученном прямоугольном треугольнике угол A 1 O H равен углу поворота α , длина катета O H равна абсциссе точки A 1 ( x , y ) . Длина катета, противолежащего углу, равна ординате точки A 1 ( x , y ) , а длина гипотенузы равна единице, так как она является радиусом единичной окружности.
В соответствии с определением из геометрии, синус угла α равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.
sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y
Значит, определение синуса острого угла в прямоугольном треугольнике через соотношение сторон эквивалентно определению синуса угла поворота α , при альфа лежащем в пределах от 0 до 90 градусов.
Аналогично соответствие определений можно показать для косинуса, тангенса и котангенса.
Синус, косинус, тангенс и котангенс: основные формулы
Источник: zaochnik.com
Типы пуль для гладкоствольного ружья
Пуля «Вятка» является калиберной и похожа на переходное звено от пули в форме шара к стрелочнообразной. Снаружи по форме — полусферическая носовая часть, напоминающая авиационную бомбу, а задняя часть тела немного конич…
Кровожадность или высокое искусство
Охота. Отношение к ней в обществе далеко не однозначно. Я прекрасно понимаю зоозащитников. Да мне и самому жаль удивительных представителей животного мира. С другой стороны, охота ведь ровесница человечества. Наверное, …
Почему в современном мире до сих пор не запрещена охота на диких зверей?
На днях приятель мужа с восторгом рассказывал, как съездил уток пострелять. Оказывается, он давно охотой увлекается, а ведь казался вполне приличным и адекватным человеком. Честное слово, слушать было, мягко говоря, не…
Кот и ворона
Привет, вы на канале ТОлстая! Дело было в детстве на старой даче. Жил у нас в то время кот Рыжик. Был он, понятно, рыжий, в полоску, в белых тапочках и манишке. Телосложение у Рыжика была до того внушительное, что люди …
Недалеко от грибного места обнаружил охотничью наблюдательную вышку
Ох, какое я грибное местечко нашел в прошлом году)) 7 дней вывозил оттуда лисички. Примерно, по 12-14 кг в мешке получалось. Больше не стал затаривать, тяжело везти было и за лямки переживал. Могли попросту оборваться.…
Как добывают медведя на берлоге
В наше время охота на берлоге запрещена законодательством, но как всем известно эта охота одна из исконно Русских охот и будем, надеется, что законодатели все же одумаются и не допустят сбыться Европейскому общественно…
Кривая давления при разных способах снаряжения
Интересный казалось бы вопрос, использования ДОПа в бинарах. но нет, ребят это не смешно, как минимум. Основная проблема в том, что сам процесс сгорания дымного пороха отличается от такого же процесса нитропорохов и п…
Блюда из диких животных и дичи.
Чтобы улучшить вкус блюда из мяса диких животных, его необходимо перед тёплой обработки замариновать. В зависимости от величины кусков мяса маринуют от 4 часов до суток. Для получения маринада в 2-3% уксус положить соль…
Венгерские выжлы: Этой породе уже больше 1000 лет. Раньше их держала знать для охоты, а теперь они спасают людей
Говорят, рыжие собаки приносят счастье. А рыжие венгерские выжлы приносят не только позитивные эмоции, — у них в арсенале целая куча полезных навыков, которые здорово облегчают жизнь многим людям. Благодаря своим способ…
Последняя весна
И пролились не ко времени ранние весенние дожди. Терпко запахло в борах смолевым духом-живицей, лиственной прелью и пьянящей свежестью талого снега. А среди залитых водой клюквенных моховин защелкали костяно, заголосили…
Инструкция параноика, часть первая.
Здравствуйте. Как известно чтобы выжить, после какого либо черезвычайного происшествия нужно изначально не помножить себя на ноль, а затем придерживаясь какого то плана начать выживать. Соответственно вот вам первая час…
«Призрак и Тьма»: лучшие приключения моего детства
Сегодня расскажу о фильме, который был просто великолепен в моем детстве. А сейчас по-прежнему вызывает восторженный восторг! После его просмотра хочется стать настоящим искателем приключений. Взять в руки тяжелое бурск…
Это не машина — Мечта! УАЗ «Буханка»
Это не просто автомобиль, это же целая история. Ну, какое авто выпускают 50 лет, практически без изменений? А Буханку выпускают! «Буханка» — это состояние души!» Буквально неделю назад, я стал счастливым обладателем так…
Охота на гусей, северные болота!
Об охоте на гусей весной на болоте В этой статье хотелось поговорить об весенней охоте на гусей, каждый год она выдаётся разная, когда то удачная, когда то не очень, а когда вообще без трофеев. Охотимся мы за гусями с 2…
Лебедь: Вся правда о царской птице
Лебедь, оказывается, очень злая птица с прескверным характером. Эта тема заинтересовала меня лет пять назад, после рассказа охотника об очередной весенней охоте на водоплавающую дичь. Когда местный егерь, сопровождавши…
Койбедь промысловый посох коми охотника.
С древнейших времен охотники коми успешно используют на промысле свой лыжный посох койбедь, «въ рукахъ: въ одной—винтовка, въ другой—лопатка съ загнутымъ концомъ, съ помощью которой онъ обиваетъ въ лѣсу снѣгъ съ вѣтвей …
Заяц на горе и прыжки с клуба.
Детство в посёлке, где я жил вместе с родителями, проходило интересно. Хоть сам посёлок я не очень любил. Где-то в Питере строили девятиэтажку, корабль. Он дал трещину. Хотели его взорвать, но наш директор совхоза, за о…
Глава 5. Охотничье ружьё
Итак, Сын стал работать с Отцом, и работа эта дала ему самостоятельный доход, который позволил осуществить одно, как оказалось уже давнее и обдуманное желание. Захотел Сын купить охотничье ружьё. Край, в котором они ж…
Объясняю, что делать, если вы добыли больную утку и как её отличить от здоровой
Не секрет, что дикие утки болеют и далеко не всю утку, добытую на охоте можно употреблять в пищу. Это может случиться как весной, так и осенью. Больным может оказаться как утка, так и селезень. В период весенней охоты н…
Выбираем сапоги-важнейший элемент в зимней экипировке для рыбалки и охоты
Приветствую! Еще в детстве, когда ходил с отцом на зимнюю рыбалку, понял что самое важное, это подобрать теплую обувь, если замерзнут или, еще хуже промокнут ноги, то согреться будет крайне сложно и велик шанс получить …
Источник: pabliko.ru
Астра задания и ответы 1-2 классы. Официальный конкурс 2022 года
28 ноября 2022 года состоится конкурс Астра по теме «строения, сооружения и конструкции». Участвовать без всякого предварительного отбора могут все желающие школьники 1–11-х классов, а также воспитанники дошкольных учреждений, имеющие навыки чтения и письма.
• Приобрести задания и ответы на все задания: Купить
Некоторые официальные задания 1-2 класса:
1. В каком сооружении обычно размещают телескоп для наблюдения за звёздами?
Ответ: А
2. Где расположены показанные на фотографии сооружения?
А На аэродроме. Б На ипподроме
В На стадионе. Г На космодроме.
Ответ: Г
3. На картинке показано зеркало большого телескопа. Оно разделено на ячейки такой же формы, как и соты в жилище…
А пчелы. Б крота.
В аиста. Г зайца.
Ответ: А
4. Мы Все Знаем – Мама Юля Села Утром На Пилюли.
Этот стих позволяет запомнить последовательность расположения тел Солнечной системы – Меркурия, Венеры, Земли и т. д. А что скрывается за словом «Села»?
А Солнце. Б Сатурн. В Сириус. Г Спутник.
Ответ: Б
5. Часть астрономической обсерватории Улугбека была выстроена под землёй. Как называется показанная на фотографии подземная часть сооружения?
А Дыра. Б Нора.
В Туннель. Г Телескоп.
Ответ: Г
6. Какую конструкцию человек не мог «подсмотреть» в окружаю-щей природе?
Ответ: Б
7. Из какого материала изготавливают молниеотводы, спасающие здания от удара молнии?
А Железа. Б Алмаза. В Гранита. Г Пластмассы.
Ответ: А
8. Храм Эль-Хазне был возведён более 2000 лет назад в городе Пéтра. Судя по цвету, он был высечен в скале, в основном состоящей из…
А золота. Б песчаника.
В гранита. Г остывшей лавы.
Ответ: Б
9. В какой последовательности возводят жилой дом?
А Фундамент, стены, крыша, отделка.
Б Стены, фундамент, отделка, крыша.
В Фундамент, стены, отделка, крыша.
Г Стены, крыша, фундамент, отделка.
Ответ: А
10. На какой картинке показан фрагмент корабельной мачты?
Ответ: Б
Источник: co8a.ru
Будет ли повышение пенсии в декабре 2022 и 13-я выплата пенсионерам к Новому году
В декабре не установлены нерабочие праздничные дни, а это значит, что график выплаты пенсий в данном месяце для российских пенсионеров не изменится. При этом некоторым пенсионерам в декабре 2022 года выплатят две пенсии — сначала пенсионное обеспечение, начисленное за текущий месяц, а затем еще и за январь 2023. Данное изменение коснется граждан, которым обычно денежные средства поступают в первых числах месяца.
Далее подробно расскажем про пенсии в декабре 2022 года, досрочное перечисление выплат за январь и график их доставки. А также разберемся, будет ли 13-я пенсия в декабре 2022, так как в последние дни в СМИ довольно часто пишут про начисление единовременных выплат пенсионерам к Новому году.
Будет ли 13 пенсия пенсионерам в декабре 2022 года и единовременные выплаты к Новому году
В СМИ и соцсетях массово встречаются публикации о якобы утвержденных денежных выплатах к Новому году, которые дадут не только пенсионерам, но и другим категориям граждан — инвалидам, детям, военнослужащим и так далее. Данные сообщения основаны на том, что в Госдуме предложили произвести выплаты тринадцатой пенсии для всех получателей пенсионного обеспечения, то есть как неработающим пенсионерам, так и работающим. Законопроект №50206-8, содержащий такое предложение, уже внесли на рассмотрение в ГД.
- Если предложенный закон примут, тогда всем пенсионерам должны будут ежегодно производить предновогодние выплаты, равные величине назначенной человеку пенсии. Отталкиваясь от среднего размера пенсионного обеспечения, можно сказать, что в декабре 2022 г. должны были бы единовременно выплатить в среднем по 18398,30 руб.
- Причем такая материальная поддержка будет распространяться не только на пенсионеров по старости, но и инвалидов, в том числе детей-инвалидов, получателей обеспечения по потере кормильца, а также пенсионеров-военнослужащих.
Но нужно учитывать, что предложенный законопроект пока еще не рассматривался. Поэтому однозначно ответить на вопрос, будет ли 13 пенсия в декабре 2022 года, пока нельзя. Можно только отметить, что первое чтение проекта закона планировалось провести еще ноябре 2022, но продвижений по данному вопросу пока так и не наблюдается.
Обо всех изменениях по вопросу выплаты 13-ой пенсии мы будем оперативно сообщать в наших группах в социальных сетях — в Одноклассниках, Вконтакте и Телеграме. Рекомендуем на них подписаться!
Будет ли в этом году еще повышение неработающим пенсионерам — последние новости
Плановое повышение или индексация пенсий в декабре 2022 года не предусмотрено действующим законодательством, поэтому каких-либо новых прибавок в этом году больше не будет. При этом следующая запланированная индексация состоится 1 января 2023 года. Она коснется неработающих пенсионеров, получающих страховые пенсии, размер которых проиндексируют на 4,8%.
Изменение размера пенсионного обеспечения с 1 декабря 2022 г. может произойти лишь в отдельных случаях, установленных законом:
- Например, пенсионерам, которым в течение ноября 2022 года исполнится 80 лет, с 1 декабря будут выплачивать повышенную фиксированную часть страховой пенсии по старости. Вместо базовой суммы ФВ, равной 7220,74 руб., будет установлена увеличенная фиксированная часть в размере 14441,48 руб.
- Также, если пенсионер переезжает в районы, относящиеся к Крайнему Северу или приравненным к КС местностям, у него возникает право на увеличение фиксированной части пенсионного обеспечения на районный коэффициент. В зависимости от нового места жительства повышение составит от 1,15 до 2 раз.
С полным перечнем оснований для индивидуального перерасчета пенсии можно ознакомиться в отдельном материале: «Перерасчет размера пенсии».
Когда выплатят пенсию за декабрь 2022 года — график
Каких-либо изменений в графике доставки пенсионного обеспечения за декабрь 2022 года не ожидается. Корректировка может быть лишь в том случае, если день получения выплат по обычному графику выпадет на выходной. И в этой ситуации доставку просто перенесут на предшествующий рабочий день.
Актуальный график доставки пенсий и социальных выплат можно узнать по телефону территориального отделения ПФР, а также на официальном сайте ведомства. Например, в Санкт-Петербурге и Ленинградской области, гор. Севастополе такие графики публикуют регулярно.
Кто получит две пенсии в декабре 2022
Некоторым пенсионерам в декабре 2022 года выплатят две пенсии — за текущий месяц, то есть декабрьскую выплату, и за следующий, то есть за январь 2023 г. Досрочное перечисление пенсии за январь 2023 года в декабре 2022 распространяется на тех граждан, кому обычно денежные средства поступают в первых числах месяца.
- Например, январскую пенсию получат до Нового года те, кому обычно денежные средства поступают в период с 1 по 8 число, а доставка осуществляется через кредитные учреждения (банки). В частности, путем зачисления на карту, сберкнижку или расчетный счет в Сбербанке.
- Сроки доставки через Почту России будут определяться в зависимости от графика работы конкретного отделения почтовой связи. Точная информация по режиму работы Почты России на новогодних каникулах будет известна к концу года.
Источник: pensiya.molodaja-semja.ru