В настоящее время на экзаменах предлагаются задачи, решение которых требует составление уравнения (или неравенства), а также их систем на основании условия задачи.
Умение решать ту или иную задачу зависит от многих факторов.
Прежде всего необходимо научиться различать основные типы задач и уметь решать простейшие из них. В связи с этим я считаю нужным рассмотреть типовые задачи на движение.
1. Основными компонентами этого типа задач являются: а) пройденный путь (s); б) скорость (v); время (t). Зависимость между указанными величинами выражаются формулами:
2. План решения обычно сводится к следующему:
а) Выбираем одну из величин, которая по условию задачи является неизвестной, и обозначаем ее через x, y или z и т. д.
б) Устанавливаем, какая из величин является по условию задачи известной.
в) Третью (из оставшихся) величину выражаем через неизвестную (x) и известную с помощью одной из формул (1).
г) Составляем уравнение на основании условия задачи, в котором указано, как именно изменилась (уменьшилась, увеличилась и т.д.) третья величина.
КЛЁВ КАК В ЗАПОВЕДНИКЕ! 2х-дневный сплав по диким и живописным местам. Рыбалка на спиннинг.
- Надо иметь в виду, что если два каких-либо тела начинают движение одновременно, то в случае, если они встречаются, каждое с момента выхода и до встречи затрачивает одинаковое время. Аналогично и в случае, если одно тело догоняет другое.
- Если же тела выходят в разное время, то до момента встречи из них затрачивает времени больше то, которое выходит раньше.
- В задачах на движение по реке надо помнить следующие формулы:
Vсоб.= (Vпо теч.+Vпр.теч.)/2
Вот примерное решение некоторых задач.
Движение из одного пункта в другой в одном направлении.
Первый турист, проехав 1,5 ч. на велосипеде со скоростью 16 км/ч, делает остановку на 1,5 ч, а затем продолжает путь с первоначальной скоростью. Четыре часа спустя после отправки в дорогу первого туриста вдогонку ему выезжает на мотоцикле второй турист со скоростью 56км/ч. Какое расстояние они проедут, прежде чем второй турист догонит первого?
Решение.
1. Из условия ясно, что первый турист вышел в путь на 4 ч. раньше второго. В точке В (рис.1) он сделал остановку на 1,5 ч. Второй турист догнал первого в точке D. Чтобы проехать это расстояние AD, первый турист затратил больше времени, чем второй, на 2,5 ч. (4–1,5= =2,5 ч.)
2. Пусть x-расстояние (в км.) от точки A до точки D. Тогда t 1 =x/16 ч-время, за которое первый турист проезжает расстояние AD; t 2 =x/56 ч.– время, за которое второй турист проезжает расстояние AD.
Составим и решим уравнение:
x /16 – x /56 = 2,5, x = 56 км.
Ответ. 56 км.
Движение из одного пункта в другой с остановкой в пути.
Товарный поезд был задержан в пути на 12 мин., а затем на расстоянии 60 км. Наверстал потерянное время, увеличив скорость на 15 км/ч. Найти первоначальную скорость поезда.
Решение.
1. Из условия задачи следует, что если бы поезд после остановки в пункте B продолжал двигаться с прежней скоростью, то затратил бы на 12 мин. (12 мин=1/5ч) больше, чем предусмотрено расписанием.
Сестра с племянницами решили прокатиться) РЖАКА
2. Пусть х – первоначальная скорость поезда (в км/ч). Тогда t 1 =60/x, t 2 = 60/(х+15), t 1 – t 2 =1/5
3. Составим и решим уравнение: 60/х – 60/(х+15) =1/5, х 1 = 60, х 2 = –75 – не удовлетворяет условию задачи, так как скорость – величина неотрицательная.
Ответ. 60 км/ч.
Движение из разных пунктов навстречу друг другу.
В один и тот же час навстречу друг другу должны были выйти A из поселка M и B из поселка K. Но A задержался и вышел позже на 6 ч. При встрече выяснилось, что A прошел на 12 км. Меньше, чем B. Отдохнув, они одновременно покинули место встречи и продолжили путь с прежней скоростью. В результате A пришел в K через 8 ч., а B пришел в M через 9 ч. После встречи. Определить расстояние MK и скорости пешеходов.
Решение.
1. Пусть v А =x (км/ч.), S КД =8x (км); v В =y(км/ч), S МД =9y(км). Тогда t = 9y/x ч– время, которое затратит A на путь из M в D; t В =8х/у ч – время, которое затратит В на пути из К в D (см. рис)
2. Из условия задачи следует, что 8x – y =12. Так как пешеход B вышел раньше, чем A, на 6 часов, то на основании этого составим второе уравнение: 8x/y – 9y/x = 6
Составим систему уравнений и решим ее:
Расстояние МК = 8*6 + 9*4 = 84 км.
Ответ. 84 км; 6 км/ч; 4 км/ч.
Основные компоненты движения заданы в общем виде.
(Задачи с параметрами.)
Поезд был задержан на t часов. Увеличив скорость на a км/ч, машинист на перегоне в s км ликвидировал опоздание. Определить, какую скорость должен был иметь поезд на этом перегоне, если бы не было задержки.
Полагая, что скорость поезда по расписанию x км/ч, имеем:
2. Теперь следует выяснить, оба ли корня уравнения удовлетворяют условию задачи:
Движение по водному пути.
В 9ч самоходная баржа вышла из А вверх по реке и прибыла в пункт В; 2ч спустя после прибытия в В эта баржа отправилась в обратный путь и прибыла в А в 19ч 20мин того же дня. Предполагая, что средняя скорость течения реки 3 км/ч и собственная скорость баржи все время постоянна, определить, в каком часу баржа прибыла в пункт В. Расстояние между А и В равно 60 км.
Решение.
1. Для решения этого типа задач следует использовать указание 5 (см. выше)
2. Обозначим собственную скорость баржи через x км/ч. Тогда время, затраченное на движение по течению реки, составляет 60/(x+3) часов, а против течения реки
Всего было затрачено времени (в ч)
х 1 =15, х 2 = –0,6 (не удовлетворяет условию).
3. Время, затраченное на движение против течения реки, 60/(15 – 3) = 60/12 = 5 ч. Следовательно, баржа прибыла в пункт В в 14 ч.
Ответ. В 14 часов.
Определение скорости при встречном прямолинейном движении тел.
Пассажир поезда знает, что на данном участке пути скорость этого поезда 40 км/ч. Как только мимо окна начал проходить встречный поезд, пассажир пустил секундомер и заметил, что встречный поезд проходил мимо окна в течение 3 с. Определить скорость встречного поезда, если известно, что его длина 75 м.
Решение.
1. Пусть скорость встречного поезда х м/с. Скорость поезда, в котором ехал пассажир, 40 км/ч =40000/3600 = 100/9 м/с.
2. Встречный поезд за 3 с прошел 3 х м, а поезд с пассажиром – (3*100)/9 = 33
3. Всего оба поезда прошли по условию 75 м, следовательно,
Ответ. 50 км/ч.
Составление неравенств.
Велосипедист отправляется из А в В. Расстояние от А до В равно 60 км; скорость велосипедиста постоянна. Не задерживаясь в В, он едет обратно с той же скоростью, но через час после выезда из В делает остановку на 20 мин. После этого он продолжает путь, увеличив скорость на 4 км/ч. В каких границах заключена скорость v велосипедиста, если известно, что на обратный путь от В до А он потратил времени не более, чем на путь от А до В?
Решение.
1. Пусть х (в км/ч) – первоначальная скорость велосипедиста.
2. Особенность задачи в том, что для решения требуется составить неравенство.
Решая это неравенство, получим
(х 2 +16х – 720)/(х(х + 4)) ≤ 0, (х – 20)(х + 36)/х(х + 4) ≤ 0.
Следовательно, 0
.
7. Найдите ∟С, если ∟А = 62˚.
8. Найдите значение выражения:
.
1) 1200 2) 12 3) 120 4) 36
9. Укажите в ответе номера верных утверждений.
1) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой.
2) Если две стороны и угол одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.
3) Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
4) Если в ромбе один из углов равен 90˚, то такой ромб – квадрат.
10. Найдите площадь треугольника, изображённого на рисунке.
11. Мотоциклист проехал 40 км от дома до реки. Возвращаясь обратно со скоростью на 10 км/ч меньшей первоначальной, он затратил на этот путь на 20 минут больше. Найдите первоначальную скорость мотоциклиста.
Если эту скорость обозначить за х км/ч, то задача может быть решена с помощью уравнения:
3)
4) х + 3(х – 10) = 40.
I вариант. Часть II.
12. (2 балла) Решите уравнение:
14. (3 балла) На сторонах АС и АВ треугольника АВС отмечены соответственно точки В 1 и С 1 . Известно, что АВ 1 = 3 см, В 1 С = 17 см, АС 1 = 5 см, С 1 В = 7см. Докажите, что треугольники АВС и АВ 1 С 1 подобны.
II вариант. Часть II.
12. (2 балла) Решите уравнение:
13. (2 балла) Найдите область определения функции
14. (3 балла) На сторонах АС и АВ треугольника АВС отмечены соответственно точки В 1 и С 1 . Известно, что АВ 1 = 4 см, В 1 С = 17 см, АС 1 = 7 см, С 1 В = 5см. Докажите, что треугольники АВС и АВ 1 С 1 подобны.
III вариант. Часть II.
12.(2 балла) Решите уравнение:
13. (2 балла) Найдите область определения функции
14. (3 балла) На сторонах АС и АВ треугольника АВС отмечены соответственно точки В 1 и С 1 . Известно, что АВ 1 = 12 см, В 1 С = 3 см, АС 1 = 10 см, С 1 В = 8 см. Докажите, что треугольники АВС и АВ 1 С 1 подобны.
Итоговая контрольная работа по математике в 8 классе
II вариант. Часть 1.
1. Запишите в ответе номера верных равенств.
2. Найдите значение выражения (7 4) -2 ∙ 7 10 .
4. Решите уравнение х 2 – 16 = 0.
5. Наклонная крыша установлена в трёх вертикальных опорах, расположенных на одной прямой. Средняя опора стоит посередине между малой и большой опорами (см. рис.). Высота малой опоры
1,7 м, высота средней опоры 2,1 м. Найдите высоту большей опоры.
6. Упростите выражение:
.
7. Найдите ∟А, если ∟С = 32˚.
8. Найдите значение выражения:
.
1) 280 2) 2800 3) 28 4) 700
9. Укажите в ответе номера верных утверждений.
1) Существуют три прямые, которые проходят через одну точку.
2) Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
3) Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
4) Если в прямоугольнике диагонали перпендикулярны, то такой прямоугольник – квадрат.
10. Из квадрата вырезали прямоугольник (см. рисунок). Найдите площадь получившейся фигуры.
11. Товарный поезд был задержан в пути на 18 минут, а затем на расстоянии в 60 км наверстал это время, увеличив скорость на 10 км/ч. Найдите первоначальную скорость поезда.
Если принять первоначальную скорость поезда за х км/ч, то задача будет решаться с помощью уравнения:
Итоговая контрольная работа по математике в 8 классе
III вариант. Часть 1.
1. Запишите в ответе номера верных равенств.
2. Найдите значение выражения 5 8 ∙ (5 -3) 2 .
3. Для приготовления чайной смеси смешивают индийский и цейлонский чай в отношении 9: 11. Какой процент в этой смеси составляет цейлонский чай?
4. Решите уравнение 5х 2 – 3х = 0.
5. Наклонная крыша установлена в трёх вертикальных опорах, расположенных на одной прямой. Средняя опора стоит посередине между малой и большой опорами (см. рис.). Высота средней опоры
2,2 м, высота большей опоры 2,5 м. Найдите высоту меньшей опоры.
6. Упростите выражение:
.
7. Найдите ∟С, если АВ = ВС.
8. Найдите значение выражения:
.
1) 2000 2) 200 3) 20 4) 2
9. Укажите в ответе номера верных утверждений.
1) Если при пересечении двух прямых третьей прямой образовавшиеся внутренние односторонние углы равны, то такие две прямые параллельны.
2) Отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
3) Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему катету.
4) Если в параллелограмме две соседние стороны равны, то такой параллелограмм является ромбом.
10. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 36 и 39 .
11. Плот проплывает по течению 60 км на 5 ч быстрее, чем такое же расстояние проходит моторная лодка против течения. Найдите скорость лодки по течению, если её скорость в стоячей воде 10 км/ч.
Обозначив скорость течения за х км/ч, можно составить уравнение:
Итоговая контрольная работа по математике в 8 классе
IV вариант. Часть 1
1. Запишите в ответе номера верных равенств.
2. Найдите значение выражения (5 4) -2 ∙ 5 11 .
3. Для фруктового напитка смешивают яблочный и виноградный сок в отношении 13: 7. Какой процент в этом напитке составляет виноградный сок?
4. Решите уравнение 5х 2 – 7х + 2 = 0.
5 . Лестницу длиной 3 м прислонили к дереву. На какой высоте (в метрах) находится верхний её конец, если нижний конец отстоит от ствола дерева на 1,8 м?
6 .Упростить выражение:
.
7 . В треугольнике ABC AC = BC . Внешний угол при вершине B равен 146 ∘ . Найдите угол C . Ответ дайте в градусах.
Товарный поезд был задержан в пути на 12 минут, а затем на расстоянии 60 км наверстал потерянное время, увеличив скорость на 15 км/час. Найти первоначальную скорость поезда.
Пусть первоначальная скорость поезда x км/ч . На путь в 60 км потребовалось бы 60/ x ч времени. Из-за задержки в пути скорость поезда увеличена на 15 км/ч , т.е. в действительности поезд шёл со скоростью (x +15) км/ч и на путь в 60 км потратил ч времени, что позволило наверстать потерянное в пути время в 12 мин .
. Итак,
.
Отрицательное значение x не подходит по условию задачи.
Ответ : 60 км/ч
В прямоугольной трапеции основания равны 6 и 4 . Диагональ равна 5. Найти периметр и площадь трапеции.
Так как по условию задачи ВС = 4 ; А D = 6 , то диагональ АС = 5 . Из ΔАВС имеем АВ 2 = АС 2 -ВС 2 = 25-16 = 9 .
Итак, высота трапеции АВ = 3;
Найдите диаметр окружности, если его концы удалены от некоторой прямой, касающейся данной окружности, на 20 и 14 .
Пусть прямая l касается окружности в точке P и АВ – диаметр, AD = 20 ; ВС = 14 . Рассмотрим ADCB ; (
) ADCB — прямоугольная трапеция;
— радиус, проведённый в точку касания l с окружностью. Поскольку
, то прямая АВ пересекает l в точке Q . Рассмотрим угол AQD . Стороны угла пересечены рядом параллельных прямых AD , OP , CB и АО = ОВ .
По теореме Фалеса DP = PC . Итак, OP – средняя линия трапеции ABCD .
— радиус окружности. Диаметр окружности равен 34 .
Ответ : 34 .
I вариант
(9 класс, 2004г.)
Решение : Из точки А проведём АРСВ. ∆САР=∆НМС по острому углу и гипотенузе (
МНС=АСР, СН=СА). ∆АРВ=∆BDN (РАВ=NBD, АВ=BD). НМ=СР, РВ=DN, отсюда HM+DN=BC.
Пусть в равнобедренном треугольнике АВС биссектрисы равных углов А и С пересекают противоположные стороны соответственно в точках E и F. Доказать, что AFEC есть трапеция с тремя равными сторонами.
Решение : В треугольнике АВС АЕ и CF – биссектрисы => FAE=EAC=FCE=FCA.
Решение : Т.к. имеются два различных корня, то
и
. .
Т.к.
, то по теореме Виета
;
В двух баках содержалось 140л воды. Когда из первого бака взяли 26л воды, а из второго – 60л, то в первом баке осталось в два раза больше воды, чем во втором. Сколько литров воды было в каждом баке первоначально?
Решение : Пусть x л воды было в первом баке. Тогда (140-x) л воды было во втором баке. (x-26) л воды стало в первом баке (140-x-60) л стало во втором баке.
160-2x=x-26; 3x=186; x=62.
Ответ : в первом баке – 62л, во втором – 78л
I I вариант
(9 класс, 2004г.)
Решение : АЕ = АС => АСЕ = АЕС = 180 ○ – А; СВ = ВD => DCB = CDB =
DCF = 180 ○ – (CDB + CED) =
=
, т.к. А + В = 90 ○ .
Доказать, что биссектрисы углов, прилежащих к одной из непараллельных сторон трапеции, пересекаются под прямым углом в точке, лежащей на средней линии трапеции.
Решение : АВСD – трапеция. А+В=180 ○ . АЕ – биссектриса А; ВЕ – биссектриса В =>ЕВА+ВАЕ =1/2А+1/2В =1/2 (А+В) =1/2·180 ○ = 90 ○ . В ∆АВЕ ВЕА=90 ○ . Поскольку точка Е принадлежит биссектрисе угла А => Е равноудалена от АВ и АD; Е принадлежит
биссектрисе В => Е равноудалена от АВ и ВС, т.е. Е равноудалена от ВС и АD, т.е. Е принадлежит средней линии трапеции АВСD.
Решение : Т.к. уравнение имеет два различных корня, то
и
;
Т.к. x 1 +x 2 =0, то
;
(условия (*)) выполняются.
Ответ : x =3 .
В одном бидоне на 5 л молока больше, чем в другом. Если из первого бидона перелить во второй 8 л молока, то во втором бидоне молока станет в 2 раза больше, чем останется в первом. Сколько литров молока в каждом бидоне?
Решение : Пусть x л молока в I бидоне, тогда
л во II бидоне.
Ответ : в I бидоне – 19л молока, во II – 14л.
6. Варианты для самостоятельного решения:
I вариант
(8 класс 1997 г.)
Может ли существовать прямоугольный параллелепипед, длины рёбер которого натуральные числа, а площадь поверхности простое число?
На сколько процентов уменьшится площадь квадрата, если сторону уменьшить на 10% ?
Скорость катера в стоячей воде 20 км/ч , скорость течения реки 2 км/ч . Катер проплыл 10 км по течению и 10 км против течения. Определить среднюю скорость катера.
На доске нарисован треугольник. Как построить центр описанной окружности?
Найти двузначное число, которое равно сумме числа его десятков и квадрата числа единиц.
I вариант
(8 класс 1998 г.)
II вариант
Последние материалы раздела:
Все статьи, расположенные на сайте, несут лишь ознакомительный характер.
Источник: slovarslov.ru
Бесплатные консультации
по юридическим и бухгалтерским вопросам. Задавайте вопросы профессионалам и получите, понятный ответ и решение вашей проблемы.
5 000 000 консультаций
Более пяти миллионов консультаций, от профессионалов в своих областях.
100 категорий, права
Опыт во всех областях: от гражданского права до уголовного, от ИП до ООО
Полный ответ на вопрос
Выделим тезисы, порекомендуем документы и сошлемся на статьи РФ.
Категории вопросов
Выберите категорию вопроса
Военное право
Заключение и расторжение брака
Прочие
Уголовное право
Защита прав работников
ДТП, ГИБДД, ПДД
Защита прав потребителей
Налоговое право
Алименты
Административное право
Семейное право
Конституционное право
Гарантии, льготы, компенсации
Земельное право
Жилищное право
Трудовое право
Авторские и смежные права
Недвижимость
Добро пожаловать на наш сайт, где мы предлагаем юридические консультации онлайн. Наша команда опытных юристов готова помочь вам в решении различных юридических вопросов.