Дроби делятся на сократимые и несократимые дроби. Рассмотрим подробнее какую дробь называются сократимой и какую дробь называют несократимой.
Сократимая дробь, определение и примеры.
Определение:
Сократимая дробь – это дробь у которой числитель и знаменатель имеют общий положительный делитель не равный нулю и единице.
Например:
Докажите, что дробь (frac) является сократимой.
Решение:
Распишем числитель и знаменатель на простые множители, найдем их наибольший общий делитель (НОД).
20=2⋅2⋅5
35=5⋅7
Так как у числителя и знаменателя повторяется множитель 5, это число и будет их наибольшим общим делителем.
НОД(20, 35)=5
Сократим дробь на НОД.
Из сократимой дроби (frac) получили несократимую дробь (frac).
Несократимая дробь, определение и примеры.
Какие же дроби несократимые или что значит несократимая дробь? Ответ на вопрос кроется в определении.
Определение:
Несократимая дробь – это дробь у которой числитель и знаменатель имеют только один общий делитель равный единице, то есть числитель и знаменатель являются взаимно-простыми числами.
Правильные дроби. Неправильные дроби. 5 класс.
Рассмотрим пример:
Докажите, что дробь (frac) является несократимой дробью.
Решение:
Число 137 является простым, так как оно делиться на 1 и на само себя.
Число 149 является простым, так как оно делиться на 1 и на само себя.
У числителя 137 и знаменателя 149 нет общих делителей, поэтому дробь (frac) является несократимой.
Правило несократимой дроби.
- Нужно расписать на простые множители числитель и знаменатель.
- Нужно посмотреть есть ли у числителя и знаменателя общие множители. Если множители есть, то сократить дробь.
- Оставшиеся множители перемножить и записать полученную несократимую дробь.
Пример:
Запишите сократимую дробь в виде несократимой обыкновенной дроби (frac).
Решение:
По правилу несократимой дроби распишем числитель и знаменатель на простые множители.
55=5⋅11
100=5⋅2⋅2⋅5
Видим, что у числителя и знаменателя есть общий множитель равный 5, поэтому сокращаем дробь на 5.
Ответ: получили несократимую дробь (frac).
Неправильные сократимые и несократимые дроби.
Чтобы перевести неправильную сократимую дробь в неправильную несократимую дробь, мы пользуемся теми же правилами, что и для правильной сократимой дроби. Рассмотрим пример:
Запишите неправильную сократимую дробь в виде неправильной несократимой дроби (frac).
Решение:
Разложим числитель и знаменатель на простые множители.
32=2⋅2⋅2⋅2⋅2
20=5⋅2
Общий множитель у числителя и знаменателя равен 2. Распишем
Ответ: получили несократимую неправильную дробь (frac).
Вопросы по теме:
Как узнать сократима ли дробь?
Ответ: чтобы узнать сократима ли дробь для начала нужно расписать числитель и знаменатель на простые множители, а потом посмотреть если у них общие множители, если есть, то дробь сократима, иначе – несократима. Рассмотрим пример.
Как объяснить дроби? Что такое дробь? простое объяснение дробей. Как объяснить ребенку доли?
Определите сократима ли дробь (frac).
Решение:
Распишем числитель и знаменатель на простые множители.
16=2⋅2⋅2⋅2
25=5⋅5
Видно, что у числителя и знаменателя нет общих множителей (одинаковых множителей), следовательно, дробь несократима.
Пример:
Сколько несократимых правильных дробей: а) (frac) б) (frac) в) (frac) г) (frac).
Решение:
а) У числителя и знаменателя дроби (frac) (8=2⋅2⋅2, 25=5⋅5) нет общих множителей, поэтому это правильная несократимая дробь. По условию это дробь нам подходит.
б) У числителя и знаменателя дроби (frac) (6=2⋅3, 4=2⋅2, (frac=frac=frac) ) есть общий множитель равный 2, поэтому это дробь сократимая и еще неправильная, потому что числитель больше знаменателя. По условию задания эта дробь нам не подходит.
в) Числитель и знаменатель дроби (frac), 5 и 13 простые числа, поэтому общих множителей кроме 1 у них нет, дробь несократимая. Так как числитель больше знаменателя дробь неправильная, поэтому по условию задания нам она не подходит.
г) Числитель и знаменатель дроби (frac) (36=2⋅2⋅3⋅3, 44=2⋅2⋅11) имеют общий множитель равный 4, поэтому дробь (frac=frac=frac) является сократимой, правильной. Нам по условию задания не подходит.
Ответ: (frac) несократимая, правильная дробь.
Пример:
Сколько имеется правильных несократимых дробей со знаменателем: а) 145 б) 123 в) 133 г) 115.
Решение:
а) Распишем на простые множители знаменатель 145:
145=5⋅29
Нужно исключить все числа от 1 до 144 кратные 5 и 29.
На 5 делится: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100, 105, 110, 115, 120, 125, 130, 135, 140.
На 29 делится: 29, 58, 87, 116.
В сумме получаем 32 числа, которые имеют общий множитель с число 145. Всего у нас чисел 144.
144-32=112
Ответ: 112 правильных несократимых дробей со знаменателем 145.
б) Распишем на простые множители знаменатель 123:
123=3⋅41
В диапазоне чисел от 1 до 122 исключаем числа кратные 3 и 41.
На число 3 делится, поэтому не могут находиться в числителе: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60, 63, 66, 69, 72, 75, 78, 81, 84, 87, 90, 93, 96, 99, 102, 105, 108, 111, 114, 117, 120.
На 41 делится: 41, 82.
В сумме получаем 40+2=42 числа, которые имеют общий множитель с число 123, поэтому мы их исключим. Всего у нас чисел 122.
122-42=80
Ответ: 80 правильных несократимых дробей со знаменателем 123.
в) Распишем на простые множители знаменатель 133:
133=7⋅19
Числа от 1 до 132 исключаем, они делятся на 7 и 19, для того чтобы получить все несократимые дроби от (frac) до (frac).
Число 7 кратно: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98, 105, 112, 119, 126. Всего 18 чисел.
Число 19 кратно:19, 38, 57, 76, 95, 114. Всего 6 чисел.
132-18-6=108
Ответ: 108 правильных несократимых дробей со знаменателем 133.
г) Распишем на простые множители знаменатель 115:
115=5⋅23
Числа от 1 до 114 исключаем.
На 5 делится: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100, 105, 110. Всего 22 числа.
На 23 делится число: 23, 46, 96, 92. Всего 4 чисел.
114-22-4=88
Ответ: 88 правильных несократимых дробей со знаменателем 115.
Нестандартная задача по математике:
Когда нельзя сокращать сократимую обыкновенную дробь?
Ответ: когда сократимая обыкновенная дробь является номером углового дома или квартала.
Источник: tutomath.ru
Сортировка дробей
Дробь – это соотношение двух чисел, при помощи которого можно представить любой элемент рационального множества. По способу записи дробные числа делятся на обыкновенные вида m/n и десятичные. Обыкновенные дроби с разными числителями и знаменателями сложно отсортировать по возрастанию/убыванию на интуитивном уровне, как это происходит с десятичными. Для этого и нужен наш калькулятор.
Представление рациональных чисел в виде дроби
Когда люди столкнулись с проблемой отделения части от целого, они придумали дроби. Если разделить круглый торт на 4 куска, то каждый кусочек лакомства будет представлять собой 1/4 от целого торта. С введением десятичной системы исчисления 1/4 превратилась в 0,25 и для современных людей такое обозначение четвертой части чего-либо гораздо понятнее. Однако 0,25 можно выразить бесконечным количеством дробей: 1/4, 2/8, 25/100 или 752/3008. Последняя дробь так и вовсе неочевидна и интуитивно непонятно, какое число она собой представляет.
Такая проблема возникает и в случаях, когда перед глазами множество самых разных дробей. Узнать какое дробное число больше или меньше на первый взгляд очень сложно: приходится подсчитывать в уме соотношение чисел или приводить их к общему знаменателю. В зависимости от представленного набора дробей, их сортировка происходит по-разному.
Дроби с одинаковыми знаменателями
Сортировка таких дробей не представляет ничего сложного. Если у рациональных чисел одинаковый знаменатель, то их упорядочивание осуществляется по числителям. Например, для набора 1/5, 10/5, 4/5 и 3/5 очевидно, что элементы сортируются:
- по возрастанию – 1/5, 3/5, 4/5, 10/5;
- по убыванию – 10/5, 4/5, 3/5, 1/5.
Главное правило: смотрим на числители и выполняем сортировку по ним.
Дроби с одинаковыми числителями
Набор рациональных чисел может выглядеть иначе: знаменатели все разные, но числитель один и тот же. К примеру, у нас есть набор: 3/5, 3/20, 3/10, 3/7. Как их отсортировать? Во всех случаях мы делим тройку на разные числа, и чем больше знаменатель, тем меньше значение дроби.
Очевидно, что число 3 деленное на 20 в любом случае меньше 3 деленного на 5. Если подсчитать эти значения мы получим десятичные дроби 0,06 и 0,6, и такие значения нетрудно сопоставить. Сортировка таких дробей выполняется по знаменателям, но в обратном порядке. Для нашего примера сортировка будет выглядеть так:
- по возрастанию – 3/20, 3/10, 3/7, 3/5;
- по убыванию – 3/5, 3/7, 3/10, 3/20.
Чем больше знаменатель – тем меньше значение дроби. Главное правило: смотрим на знаменатели и сортируем числа в обратном порядке.
Абсолютно разные дроби
Предыдущие примеры были слишком простыми. В большинстве случаев наборы рациональных чисел содержат совершенно разные дроби, с различными числителями и знаменателями. В этой ситуации единственным верным способом сортировки становится метод привидения всех элементов к общему знаменателю. Существует три метода определения общего знаменателя: использование максимального знаменателя, последовательный перебор кратных или разложение на простые множители. В общем случае поиск общего знаменателя сводится к задаче определения наименьшего общего кратного (НОК).
Первый метод подразумевает проверку наибольшего знаменателя на делимость остальными. Если максимальный знаменатель делится с остатком, то он умножается на 2, 3, 4 и так далее до тех пор, пока не станет кратным всем остальным знаменателям. Второй метод сложнее, так как нам требуется последовательно выписывать кратные числа для каждого знаменателя до тех пор, пока не найдутся общие, что тоже неудобно.
Самый удобный, а потому и наиболее распространенный метод поиска НОК состоит в разложении на простые множители. Каждое целое число можно разложить на простые множители единственным способом с точностью до порядка расположения сомножителей. К примеру, число 30 можно разложить на 2 × 3 × 5, а число 20 на 2 × 2 × 5. Наименьшее общее кратное для этих чисел представляет собой число, которое состоит из общих для этих чисел неделимых множителей. Для данной пары это 2 × 2 × 3 × 5 = 60.
Проводить данные операции вручную дело долгое и утомительное. Наша программа автоматически сортирует обыкновенные и десятичные дроби по возрастанию или убыванию. Для этого вам достаточно ввести значения через пробел в форму калькулятора и сделать один клик мышкой. Особенность программы состоит в том, что в случае разнородного набора рациональных чисел (десятичные и обыкновенные дроби), калькулятор вначале сортирует десятичные, а затем обыкновенные дроби. Таким образом, калькулятор разделяет смешанные наборы на две совокупности обыкновенных и десятичных дробей и сортирует их по отдельности.
Рассмотрим пример
Пример сортировки
Пусть у нас есть совокупность разнородных чисел:
1/5, 2/9, 0,75, 5/7, 0,2, 6/13, 0,35, 8/15.
На первый взгляд не угадаешь, какое из этих чисел наибольшее, а какое – наименьшее. Вручную нам пришлось бы раскладывать на множители или подбирать кратные, но при помощи компьютера мы можем на выбор:
- перевести обыкновенные дроби в десятичные;
- отсортировать их при помощи онлайн-калькулятора.
Давайте попробуем и то, и другое. Представим нашу совокупность в виде десятичных дробей:
0,2 0,22 0,75 0,71 0,2 0,46 0,35 0,53
Мы просто подсчитали значение заданных дробей и расположили соответственно исходному ряду. Отсортировать такие числа проще простого, но опять же, это лишние усилия на промежуточные операции. Давайте просто введем наш ряд в форму калькулятора и получим ответ:
- по возрастанию – 1/5, 2/9, 6/13, 8/15, 5/7; 0,2; 0,35; 0,75;
- по убыванию – 0,75, 0,35, 0,2; 5/7, 8/15, 6/13, 2/9, 1/5.
Заключение
Сортировка дробных значений необходима при обработке любых данных, поэтому на практике вы можете столкнуться с необходимостью упорядочивания различных значений. Ученикам же наш калькулятор пригодится для проверки решений по арифметике.
Источник: bbf.ru
Бесконечные периодические дроби
Повторяющаяся группа цифр называется периодом и записывается в скобках.
Примеры: 0,(6); 0,(3); 0,6(81).
Получить периодическую дробь можно тогда, когда при делении числителя на знаменатель получаются повторяющиеся остатки. Именно повторяющиеся остатки делают процесс деления бесконечным, что приводит к появлению бесконечной периодической дроби.
Пример 1. Разделить 1 на 3:
При делении мы постоянно получаем остаток 1, затем приписываем к нему 0 и делим 10 на 3. Эта операция повторяется снова и снова. В результате мы каждый раз получаем повторяющиеся остатки. Поэтому деление 1 на 3 будет выполняться бесконечно. В результате этого образуется бесконечная десятичная дробь.
- Записывается. Обычно бесконечные периодические дроби записывают сокращенно: сначала записывают целую часть, затем ставят запятую и в скобках указывают период (цифру, которая повторяется).
- Читается. Бесконечные периодические дроби читаются так: «ноль целых и три в периоде»
Пример 2. Разделить 5 на 11:
При делении мы постоянно получаем остаток 5 или 6. Затем приписываем к остатку 0 и делим 50 или 60 на 11. В результате мы получаем повторяющиеся остатки, поэтому деление 5 на 11 будет выполняться бесконечно.
- Записывается: 0,(45).
- Читается: «ноль целых и сорок пять в периоде»
Виды периодических дробей
Периодические дроби бывают двух видов: чистые и смешанные.
- Чистые — дроби, у которых период начинается сразу после запятой.
Примеры: 0,(3); 0,(5); 0,(6). - Смешанные — дроби, у которых период начинается после некоторого количества не повторяющихся цифр.
Примеры: 0,52(3); 0,16(5); 0,31(6)
Чтобы записать периодическую дробь в виде десятичной дроби, нужно округлить эту дробь до нужного разряда. Как округлять, можно прочитать в статье «Правила округления чисел«
Примеры округления:
Округлить 0,(3) до сотых. Получаем 0,333333…≈ 0,33.
Округлить 6,31(6) до тысячных. Получаем 6,31666666… ≈ 6,317
Перевод периодической дроби в обыкновенную
✅ Для чистой периодической дроби
Чтобы перевести чистую периодическую дробь в обыкновенную дробь, нужно
➤ в числитель обыкновенной дроби записать период периодической дроби,
➤ в знаменатель обыкновенной дроби записать некоторое количество девяток, при этом, количество девяток должно быть равно количеству цифр в периоде периодической дроби.
Пример 1: перевести 0,(3) в обыкновенную дробь.
В периодической дроби 0,(3) период состоит из одной цифры 3, поэтому в числителе записываем одну тройку, а в знаменателе — одну девятку. Полученную дробь можно сократить на 3, тогда получим обыкновенную дробь 1/3.
Пример 2. Перевести 0,(45) в обыкновенную дробь.
В периодической дроби 0,(45) период состоит из двух цифр, поэтому в числителе записываем 45, а в знаменателе — 99. Полученную дробь можно сократить на 9, тогда получим обыкновенную дробь 5/11.
✅ Для смешанной периодической дроби
Чтобы перевести смешанную периодическую дробь в обыкновенную дробь, нужно
- в числителе записать разность:
- уменьшаемое — все цифры, стоящие после запятой, в том числе в периоде,
- вычитаемое — цифры, стоящие между запятой и первым периодом периодической дроби.
- количество девяток должно быть равно количеству цифр в периоде периодической дроби,
- количество нулей должно быть равно количеству цифр между запятой и периодом периодической дроби.
Пример 3: перевести 0,31(6) в обыкновенную дробь.
➤ В числителе запишем разность разность:
уменьшаемое — все цифры, стоящие после запятой, включая и период = 316
вычитаемое — цифры, стоящие между запятой и периодом = 31
получаем числитель = (316-31).
➤ В знаменателе запишем некоторое количество девяток и нулей.
количество девяток равно количеству цифр в периоде периодической дроби 0,31(6) — одна девятка
количество нулей равно количеству цифр между запятой и периодом — два нуля.
получаем знаменатель = 900. Получили дробь, которую можно сократить.
Пример 4. перевести 0,72(62) в обыкновенную дробь.
➤ В числителе: уменьшаемое = 7262, вычитаемое = 72, получаем числитель = (7262-72).
➤ В знаменателе: 2 цифры в периоде (99), две цифры между запятой и периодом (00), получаем 9900.
Получили дробь, которую можно сократить.
Источник: intmag24.ru
. Запишите какую-нибудь десятичную дробь, расположенную между числами 16,5 и 16,6. Ответ запишите с двумя знаками после запятой.
А) Физ. — 126 учен.
Хим. — 103 учен.
Вс. — ? учен.
б) Вс. — 3 тум.
1 тум. -10000 воин.
Вс. — ? воин.
в) Вс. — 375 дет.
Комн. — 25 шт.
1 комн. — ? дет.
г) Вс. — 24 шахм.
1 гр. — 8 чел.
Вс. — ? гр.
1 год назад
2 года назад
Если между каждыми двумя городами существует авиалиния, и авиалиния АВ = ВА, то:
Или так: N = n(n-1)/2 = 19*18/2 = 171
(n-1 берется вместо n+1 для формулы суммы n первых натуральных чисел потому, что между двумя городами 1 авиалиния)
Ответ: 171 авиалиния.
пусть 100% — стоимость товара в январе. 100% + 10% = 110% — стоимость товара в феврале. 110% + 110% : 100% * 20% = 110% + 22% = 132% — стоимость товара в марте. 132% — 100% = 32% — на столько процентов дороже товар стоил в марте, чем в январе. ответ: 32%.
2 года назад
Смотрите также:
Во сколько раз увеличится или уменьшится произведение если к первому множителю прибавить -1/4 его часть, а ко второму множителю
Ученик прошел 2/3 части пути от дома до школы что составляет 250м найдите ростаяние от дома до школы
Сплав мистить 8 видсотка олова .Скильки кг олова вмистить у 520 кг сплаву (За допомогою пропорции) Или просто как кто может
Поезд Минск — Витебск отправляется из Минска в 21.28, а прибывает в Витебск в 06.46 на следующий день. Сколько времени поезд нах
Найдите наибольшее двузначное число x при котором значение выражения x -74 делиться на 5
Решите уравнение пожалйуста!
Одно слагаемое увеличили на 348. Как нужно изменить второе слагаемое, чтобы сумма уменьшилась на 123.варианты уменьшить на 471,
Источник: otvet.ya.guru